Εις άτοπον απαγωγή

Καλημέρα σε όλους και καλή εβδομάδα. Σήμερα ήθελα να γράψω λίγα πράγματα για τα μαθηματικά που έχουμε γύρω μας στην καθημερινότητα μας και πολλές φορές τα αγνοούμε.

Πρώτα πρώτα θα ήθελα να μιλήσω για αρμονίες. Τα μαθηματικά στην ευρεία έννοια τους περιλαμβάνουν πολλές φορές αρμονίες και συμμετρίες, το αξιοσημείωτο είναι οτι αυτές οι αρμονίες υπάρχουν και στην φύση, στον άνθρωπο αλλά ακόμα και σε έννοιες που πολλές φορές δεν ξέρουμε οτι έχουνε την οποιαδήποτε σχέση με τα μαθηματικά.

Ένα πολύ ενδιαφέρον φαινόμενο που παρατηρείται στον χώρο αυτόν είναι η Χρυσή Τομή. Πολλοί μπορεί να την έχετε ακούσει σαν έκφραση, άλλοι ίσως την είδατε σε κάποιο μάθημα καλλιτεχνικών ή ιστορίας.

Στην πραγματικότητα, η Χρυσή Τομή Φ δηλώνει μία αναλογία. Η αναλογία αυτή είναι περίπου 1:1,618 και θεωρείται οτι δίνει αρμονικές αναλογίες. Αναλογίες δηλαδή που το μάτι μας, σαν να ήταν προγραμματισμένο εξαρχής έτσι, θεωρεί αρμονικές και όμορφες. Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, (585 – 500 π.Χ.). Από τότε έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση.

Κάποιοι από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, από τον Πυθαγόρα και τον Ευκλείδη, τον μεσαιωνικό Ιταλό μαθηματικό Leonardo of Pisa (Fibonacci), τον αναγεννησιακό αστρονόμο Johannes Kepler έως σημερινές επιστημονικές φυσιογνωμίες όπως ο Καθηγητής της Οξφόρδης Roger Penrose έχουν αφιερώσει αμέτρητες ώρες γύρω από αυτήν την αναλογία και τις ιδιότητές της. Όμως η γοητεία της χρυσής τομής δεν περιορίστηκε μόνο σε μαθηματικούς. Βιολόγοι, καλλιτέχνες, μουσικοί, ιστορικοί, αρχιτέκτονες, ψυχολόγοι, και ακόμη και μυστικιστές έχουν αναρωτηθεί και αναζητήσει τη βάση της πανταχούς παρουσίας αυτής της έννοιας. Εν τέλει, η χρυσή τομή ενέπνευσε στοχαστές όλων των κλάδων όπως κανένας άλλος αριθμός στην ιστορία των μαθηματικών.

Ας δούμε τώρα πως υπολογίζεται η χρυσή τομή. Σε αυτό το σημείο ας δώσουμε έναν μαθηματικό ορισμό.

Ορισμός: Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο.

Δηλαδή

Από την δεξιά ισότητα παίρνουμε ότι

Αντικαθιστώντας έχουμε

Απαλοίφοντας τα b παίρνουμε

Που τελικά δίνει

Η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μία μόνο θετική λύση, την

Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά αυτήν την αναλογία, με κανόνα και διαβήτη.

1. Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο πλευράς α =1 (κόκκινο).
2. Φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία διαγώνιο (γκρι).
3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του τετραγώνου (από όπου ξεκινάει η διαγώνιος που φέραμε προηγουμένως) και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου.
4. Προεκτείνουμε την πλευρά του τετραγώνου πάνω στην οποία βρίσκεται το κέντρο του κύκλου ως τον κύκλο (μπλε).

Το ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του τετραγώνου μαζί με την προέκταση έχει μήκος φ.

Ας δούμε τώρα που και πως εφαρμόζεται αυτός ο «μαγικός» αριθμός.Έχετε αναρωτηθεί πότε γιατί σε κάποιους ανθρώπους ταιριάζει το καπέλο ενώ σε κάποιους το μούσι; Τι σχέση έχει ο αφαλός με το υπόλοιπο σώμα σας; Την αναλογία που έχει ο πήχης και η παλάμη σας; Το γιατί όλα τα πόμολα τοποθετούνται σε ένα συγκεκριμένο ύψος;

Όλα τα παραπάνω ερωτήματα απαντιόνται με τη χρυσή τομή. Ας τα δούμε αναλυτικά.

Αν κάποιος μετρήσει το μήκος που έχει το πάνω άκρο του κεφαλιού του από τη μύτη του και το κάτω άκρο (σαγόνι) και θέσει ως α την μεγάλη και ως b τη μικρή και τα εξισώσει όπως δείξαμε παραπάνω, θα διαπιστώσει οτι ο λόγος τείνει στο 1.618 αρκετά. Ανάλογα με τον αν είναι μεγαλύτερος ο λόγος ή μικρότερος τότε στο άτομο ταιριάζουν ή όχι τα φουντωτά μαλλιά ή τα κοντοκουρεμένα, για παράδειγμα. Αν δηλαδή η απόσταση της μύτης του από το πάνω άκρο του κεφαλιού του είναι μικρότερη από όση χρειάζονταν για να ικανοποιηθεί η αναλογία, τότε στο άτομο ταιριάζουν τα πιο φουντωτά μαλλιά. Αντίστοιχα αν ισχύει οτι το κάτω άκρο είναι μικρότερο, τότε στο πρόσωπο ταιριάζουν τα γένια. Και η αναλογίες συνεχίζουν και συνεχίζουν. Βάση αυτών των αναλογιών κάποιοι επιστήμονες κατάφεραν να δημιουργήσουν μία μάσκα. Τη μάσκα της χρυσής τομής. Μία μάσκα που αποδεικνύει  οτι η ομορφιά είναι ξεκάθαρα μία μαθηματική υπόθεση!

Κάπως έτσι και για τα σώματα ισχύει η αναλογία, παίρνοντας όπως πριν, σαν α την μεγάλη απόσταση και σαν b την μικρή. Έτσι υπολογίζεται αν ταιριάζουν τα μεγάλα καπέλα ή τα τακούνια σε κάποιον/α. Αλλά και η γενική καλαισθησία του σώματος ενός ανθρώπου.

Και τέλος με τον ίδιο τρόπο υπολογίζεται το ύψος στο οποίο τοποθετούνται τα πόμολα στις πόρτες – τουλάχιστον έτσι βρίσκεται η ιδανική θέση για αυτά, άσχετα αν αυτή επιλέγεται ή όχι πλέον για λόγους μοντέρνου στυλ και διακόσμησης.

Η λίστα μπορεί να μεγαλώσει αρκετά, μιας και αν κάποιος το αναζητήσει μπορεί να βρει πολλά ακόμα παραδείγματα που ισχύει η αναλογία της χρυσής τομής, τόσο στην φύση όσο και στον άνθρωπο και τα δημιουργήματά του. Αν και εσείς γνωρίζετε κάποιο ενδιαφέρον τέτοιο παράδειγμα ή εφαρμογή ενημερώστε μας.