Εις άτοπον απαγωγή

21 Σχόλια στο “Είστε «γάτοι»; Αποδείξτε το…”

• Νίκος Βασιλείου Says:
  Νοεμβρίου 17th, 2010 at 09:37

  Απομονώνω ένα τεταρτημόριο, και αντικαθιστώ το τεταρτοκύκλιο με μία ευθεία γραμμή…
  έχω δηλαδή ένα ισοσκελές, ορθογώνιο τρίγωνο. οπότε αυτό που λέει η παραπάνω λογική, είναι οτι η υποτείνουσα έχει το ίδιο μήκος με το άθροισμα των καθέτων πλευρών…
  Όμορφα… ο πυθαγόρας απέδειξε οτι δεν είναι έτσι… αλλα ΔΕΝ απέδειξε οτι ΑΥΤΟ είναι λάθος…

  ΠΩΣ?
  γμτ…
• Νίκος Βασιλείου Says:
  Νοεμβρίου 17th, 2010 at 09:43

  Σε κάθε βήμα αφαίρεσης τετραγώνου (ή παραλληλογράμμου), αφαιρούμε επιφάνεια, αλλα δεν αφαιρούμε περίμετρο.

  Μήπως υπάρχει κάποιο αξίωμα για αυτό του είδους την ενέργεια;
• Κωνσταντίνος Says:
  Νοεμβρίου 17th, 2010 at 11:18

  Δεν είναι τόσο δύσκολο, ενδεχομένως όμως ούτε και τόσο εύκολο το πρόβλημα, από ότι φαίνεται, απλά σκεφτείτε το λίγο!
• Νίκος Βασιλείου Says:
  Νοεμβρίου 17th, 2010 at 19:04

  Μήπως, ότι κάνω απο απ’έξω πρέπει να κάνω κι απο μέσα; Δηλαδή να ενώσω τα άκρα του τεταρτοκυκλίου με το σημείο τομής της περιφέρειας με το πρώτο τετράγωνο;

  Ιδέες ρίχνω (που δεν τις προχωρώ)… πάω για μάθημα!
• efthymios Says:
  Νοεμβρίου 19th, 2010 at 20:35

  Το παραπανω σκιτσο δεν εντασεται στην κατηγορια των διασκεδαστικων προβληματων ουτε και στην κατηγορια των προβληματων. Τυχαινει να ειναι οι ανω και κατω διαμερισεις για το ολοκληρωμα Riemann.Ο Αρχιμηδης εχοντας στη διαθεση του σχεδον τιποτα ειχε ανακαλυψει αυτη τη διαδικασια ειχε αποδειξει την ορθοτητα της για καμπυλες δευτερου και τριτου βαθμου. Εγραψε τις αποδειξεις του στο πολυ γνωστο βιβλιο Παλιμψηστος το οποιο και χαθηκε για παρα πολλους αιωνες ωσπου σε καποιο μοναστηρι της Κωνσταντινουπολης το 1900 ανακαλυφθηκε ξανα με εναν πολυ περιεργο τροπο. Ηταν αντεγραμμενο σε ενα βιβλιο και πανω σε αυτες τις σελιδες βυζαντινοι μοναχοι ειχαν σβησει τα παντα και ειχαν γραψει αποπανω καποιους υμνους. Σημερα μελεταται ακομα το βιβλιο αυτο -αποκλειστικα με χρηση ακτινων χ- για να διαβαστει.Με γυμνο ματι βλεπει κανεις μονο τους υμνους των βυζαντινων. Συναρπαστικη ιστορια? Οχι και τοσο αν την συγκρινει κανεις με το που θα ηταν η ανθρωποτητα σημερα εαν οι αποδειξεις αυτες δεν ειχαν χαθει απο τοσο παλια. Ο Νευτωνας εγινε γνωστος (και δικαιως) γιατι εθεσε τα θεμελια ωστε οι επομενες γενιες μαθηματικων να ξανα-ανακαλυωουν εν αγνοια τους το εργο του Αρχιμηδη-το οποιο ειναι πως να υπολογιζουν ολοκληρωματα.Αυτο ακριβως εκανε στο παραπανω σχημα ο Αρχιμηδης. Ηταν ο πρωτος που υπολογισε καποιο ολοκληρωμα και ηταν ο πρωτος που σκεφτηκε πως υπολογιζεται και πως αποδυκνειεται. Εαν οι υπολοιπες επιστημες εχουν εξελιχθει ετσι απο τα χρονια του Νευτωνα (περιπου 1600-1700) στηριζομενες αποκλειστικα σε αυτου του ειδους τις μαθηματικες ανακαλυψεις πραγματικα με κανει να αναρωτιεμαι τι θα ειχε συμβει αν τα εργα του Αρχιμηδη ειχαν γινει γνωστα το 100 π.Χ. η το 300 μ.Χ. η το 1000 μ.Χ..Ενδεχομενως θα παιρναμε καποιο ταξακι για εκδρομη σαββατοκυριακου σε καποιο κοντινο πλανητη για παραδειγμα.’Η θα ηταν ηδη πολυ βαρετο να τα γραψω εδω ολα αυτα μιας και ηδη θα ειχατε διαβασει τις σκεψεις μου μεσα σε μερικα νανοδευτερολεπτα απο τον υπολογιστη σας. Υπαρχουν καποιες ωραιες πηγες για να διαβασει κανεις για αυτα.Καταρχας το wikipedia, οπως και στο youtube θα εχουν ανεβασει ενα 50 λεπτο ντοκυμαντερ για την Παλιμψηστο που ειχε προβληθει και στην Ελλαδα καποτε.
  Για αναφορες με περισσοτερα μαθηματικα κοιταξτε τον πρωτο τομο του Απειροστικου Λογισμου στο τμημα Μαθηματικων της Αθηνας (συγγραφεις Νεγρεποντης-Γιαννακουλιας-Ζαχαριαδης-Γιωτοπουλος, εκδοσεις Συμμετρια) Ισως να gigapidiσετε και το ιδιο το κειμενο
  αλλα δεν θα το συνιστουσα!
• Στέφανος Says:
  Νοεμβρίου 21st, 2010 at 00:33

  Το αρχικό σχήμα είναι 4 μικτόγραμμα τρίγωνα που το καθένα αποτελείται από 2 πλευρές μιας ορθής γωνίας η καθεμία μήκους 1/2 και ένα τόξο 90 μοιρών μήκους ίσου με το 1/4 του κύκλου .

  Το άθροισμα των περιμέτρων των 4 αυτών μικτόγραμμων τριγώνων θα είναι ίσο με την περίμετρο του τετραγώνου ( που είναι 4 ) και του κύκλου ( που είναι 2πρ = 2π/2 = π ) οπότε συνολικά ίσο με π +4 .

  Όταν αφαιρούμε μία γωνία ( όπως το σχήμα λέει ) τότε η περίμετρος του τετραγώνου χάνει ένα σημείο ! Και το χάνει διότι το σημείο που βρίσκεται στην απέναντι κορυφή του μικρού τετραγώνου που σχηματίζεται ( δείτε την πάνω δεξιά μεριά της εικόνας 3 ) δεν ανήκει στην περίμετρο του τετραγώνου αλλά στη περίμετρο του κύκλου και ως γνωστόν ένα σημείο μιας γραμμής ΔΕΝ μπορούμε να το μετρήσουμε 2 φορές !

  Άρα αφού η περίμετρος του τετραγώνου χάνει σημεία ( αφού εμείς αφαιρούμε γωνίες ) και η περίμετρος του κύκλου δεν χάνει τίποτα τότε αν η αφαίρεση των γωνιών συνεχιστεί επ άπειρον ( πάλι όπως το σχήμα λέει ) η περίμετρος του τετραγώνου θα χάσει άπειρα σημεία οπότε θα εξαφανιστεί ενώ η περίμετρος του κύκλου θα μείνει άθικτη και ίση με την αρχική δηλαδή π.
  Το άθροισμα των περιμέτρων » τετράγωνο + κύκλος = 4 + π » μειώνεται λοιπόν και αυτό γιατί μειώνεται η περίμετρος του τετραγώνου που στο τέλος θα μηδενιστεί και το μόνο που θα μείνει θα είναι ο κύκλος .

  Με λίγα λόγια η διαδικασία που περιγράφεται στο σχήμα μας λέει πως μπορούμε σιγά σιγά να σβήσουμε ένα τετράγωνο( γιατί αυτό ακριβώς κάνουμε αφαιρώντας γωνίες ) και στη θέση του να εμφανισθεί ένας κύκλος με μικρότερη περίμετρο από το αρχικό τετράγωνο !

  Δηλαδή π < 4 , όπως όλοι γνωρίζουμε.

  Που λοιπόν βρίσκεται το λάθος ?
  Απάντηση : Στο γεγονός ότι κατά την αφαίρεση γωνιών η περίμετρος του τετραγώνου δεν μένει σταθερή ( και ίση με 4 όπως το σχήμα διατείνεται ) αλλά μειώνεται μέχρι να μηδενιστεί και να μείνει μόνο ο κύκλος .
• capito Says:
  Νοεμβρίου 21st, 2010 at 01:54

  efthymios αν το έργο είχε βρεθεί νωρίτερα σίγουρα τα μαθηματικά θα είχαν προχωρήσει με άλλο ρυθμό και τα εύσημα θα πηγαίναν εκεί που έπρεπε…τώρα για το ταξιδάκι σε άλλο πλανήτη αυτό είναι μια άλλη ιστορία…
  σίγουρα η μαθηματική πρόοδος δεν σημαίνει απαραίτητα και ανάπτυξη όλων των άλλων τομέων.
• efthymios Says:
  Νοεμβρίου 22nd, 2010 at 17:40

  capito εχεις δικιο, απλα σκεφτομουνα οτι η πληροφορικη και η φυσικη αναπτυχθηκαν μετα τα μαθηματικα και λογω των μαθηματικων. Μαλλον υπερβαλλω ομως. Ναι βασικα τωρα που το σκεφτομαι καλυτερα η θεολογια συνεβαλλε σημαντικα στη συγχρονη τεχνολογια, να μην αναφερω το γεγονος οτι οι Euler και Riemann αρχικα προοριζονταν για ιερεις. Επισης ο Pascal εχασε τη μιση του ζωη προσπαθωντας να κερδισει στοιχηματα για το αν υπαρχει ο Θεος, τελικα τον θυμομαστε για τις πιθανοτητες που δημιουργησε. Δεν λεω πως στους μαθηματικους οφειλεται οτι εχει συμβει στο δυτικο κοσμο τους τελευταιους αιωνες απλα λεω οτι τα »περιφερεια κυκλου=2πρ θα το θυμουνται και θα τα καταλαβαινουν ακομα και οταν τα επη του Ομηρου θα εχουν ξεχαστει» για να παραφρασω κατι που ειχε πει ο Hardy (επειδη δεν θυμαμαι την κανονικη διατυπωση) Μπορεις ομως αν θες να ισχυριστεις οτι οι συγχρονες επιστημες -κοινωνιολογια-ψυχολογια- εχουν επηρεασει και αλλαξει ουσιαστικα τον τροπο που δρουμε.Ειναι αληθεια αυτο. Η ζωη κατα φυσιολογικο τροπο εχει μια ολοτητα και ειναι ανωριμο να μην σεβαστουμε αυτο το γεγονος. Απλα ειναι δυσκολο καποιος να αποδειξει οτι τα υπολοιπα δεν ειναι μ***ς οταν συγκρινονται με τα μαθηματικα.
• capito Says:
  Νοεμβρίου 23rd, 2010 at 18:47

  Μάλλον δεν έχεις καταλάβει τι ακριβώς έγραψα …
  και από τι βίασύνη σου μου αραδιάζεις ένω σωρό @#$!. Τα μαθηματικά που χρειάζονται για να πάς π.χ στον Άρη τα ξέρουμε εδώ και καιρό στα τεχνικά κολλάμε. Τα μαθηματικά δεν είναι προς «πάσαν νόσον και πάσαν μαλακίαν».
• Olack Says:
  Νοεμβρίου 23rd, 2010 at 22:20

  Στέφανε, δεν έχεις δίκιο.Το οτι χάνονται σημεία δεν σε ενδιαφέρει γιατί χάνονται αριθμήσιμα σημεία και δεν επιρεάζει αυτό τίποτα. Άλλωστε, ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1, έχει ακριβώς όσα σημεία όσα ένα τμήμα μήκους 15, ακριβώς όσοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί.Αφαιρώντας αριθμήσιμα σημεία από υπεραριθμήσιμα, το μήκος είναι σταθερό.

  Η δικιά μου η ιδέα είναι οτι η διαδικασία είναι σωστή, αλλά το συμπέρασμα είναι λάθος. Το εμβαδόν τείνει να γίνει π, όχι η περίμετρος. Οπτικό είναι το πρόβλημα. Θυμίζει τα fractals που μπορεί να έχουν πεπερασμένο εμβαδόν αλλά παράλληλα να έχουν άπειρη περίμετρο. O Riemann δεν έκανε αυτή τη μέθοδο. Πολύγωνα χρησιμοποιούσε σε κάθε βήμα, διαφορετικών περιμέτρων, που τελικά οριακά ήταν σαν του κύκλου.Εδώ η περίμετρος είναι σταθερή σε κάθε βήμα και επειδή τα εμβαδά πάνε να ταυτιστούνε, το σχήμα μας μπερδεύει και νομίζουμε και οτι η περιμέτρος πάει. Δεν ισχύει όμως αυτό.
• Κωνσταντίνος Says:
  Νοεμβρίου 23rd, 2010 at 22:32

  Πολύ σωστή παρατήρηση!

  Στέφανε, ο Olack έχει δίκιο. Μέρες ήθελα να στο γράψω αλλά δεν είχα τον χρόνο.

  Παιδιά αυτό που σας ξεφεύγει είναι ότι δεν κάνει ότι εκάνει ο Riemann στα ολοκληρώματα. Μπορείτε εύκολα να δείτε από τις πρώτες εικόνες ότι τα «δοντάκια» πάντα θα είναι εκεί. Δηλαδή όλο το εμβαδό τους θα παραμένει εκτός κύκλου. Αρα η περίμετρος δεν αλλάζει.

  Ο μόνος τρόπος για να ίσχυε η διαδικασία θα ήταν σε κάθε «κόψιμο» το νέο τετραγωνάκι να μην εφάπτεται με τον κύκλο σε ένα σημείο αλλά να περνά από δύο κορυφές του. Σε αυτή τη περίπτωση όταν το ν θα έτεινε στο άπειρο το εμβαδό εντός και το εμβαδό εκτός κύκλου θα ήταν το ίδιο με αποτέλεσμα να έδινε το σωστό αποτέλεσμα.
• Maria Says:
  Νοεμβρίου 25th, 2010 at 15:27

  «Δεν κανει ο,τι κανει ο Riemann στα ολοκληρωματα.»

  Ενδεχομενως να σφαλω, ωστοσο η διαδικασια νομιζω οτι μοιαζει πολυ, καθως στην περιπτωση των αθροισματων Riemann, τα ορθογωνια που χρησιμοποιησε ο τελευταιος αφηνουν μια μικρη περιοχη του εσωτερικου της καμπυλης απεξω και την «αναπληρωνουν» με μια μικρη περιοχη εκτος της καμπυλης. Οι περιοχες αυτες δεν ειναι ισεμβαδικες γενικα καθως αυτο εξαρταται απο την καμπυλοτητα της καμπυλης, ωστοσο οσο το πληθος των ορθογωνιων τεινει στο απειρο, τεινουν να ταυτιστουν. Στο παραπανω προβλημα, μπορει να ειναι ολες οι περιοχες εκτος του κυκλου, ωστοσο οταν το ν τεινει στο απειρο οι επιφανειες εκτος του κυκλου μειωνουν το εμβαδο τους προσεγγιζοντας το 0. Αυτο ειναι και το ζητουμενο στις δυο περιπτωσεις, το σφαλμα να μηδενιστει. Επομενως γιατι να μην ειναι αναλογη διαδικασια με του Riemann;

  Μπαη δε γουεη Κωνσταντινε καταπληκτικη σπαζοκεφαλια
• tsatsar Says:
  Δεκεμβρίου 3rd, 2010 at 21:58

  Ερώτηση : Από την εικόνα 3 στην εικόνα 4 με ποιά ακριβώς διαδικασία πάμε ; Το «αφαιρουμε την γωνία», (remove corners) δεν σημαίνει τίποτα. Αν το κάνουμε με προσοχή, θα δούμε ότι αφαιρούμε παραλληλόγραμμα, η περίμετρος θα παραμείνει 4 αλλά δεν προσεγγίζουμε τον κύκλο
• arkanoid Says:
  Δεκεμβρίου 14th, 2010 at 13:22

  Είναι απλό πιστεύω. Σε κάθε επανάληψη, αριθμήσιμα το πλήθος σημεία αγγίζουν τον κύκλο (στις γωνίες αναφέρομαι). Άρα και στο άπειρο θα έχουμε αποκτήσει αριθμήσιμα το πλήθος σημεία. Τα υπόλοιπα σημεία του αρχικού τετραγώνου δεν θα εφάπτονται με τον κύκλο συνεπώς και ως αυτού δεν θα ταυτίζονται οι περίμετροι αλλά μόνο τα εμβαδά. Απλά στο άπειρο όλο αυτό είναι ένα πολύ καλό illusion.

  @Maria.

  Πολύ καλά τα λες. Για όσους δεν πιστεύουν, κόψτε την πάνω αριστερή γωνία του σχήματος και βάλτε την στους άξονες x – y. Θα δείτε κάτι που μοιάζει με την ρίζα χ και τα πάνω αθροίσματα Riemann της.
• Hyperion Says:
  Δεκεμβρίου 14th, 2010 at 20:54

  http://www.youtube.com/watch?v=HB3mWKiqmYg
• KostasFarf Says:
  Φεβρουαρίου 3rd, 2011 at 13:02

  Το σφάλμα βρίσκεται στο ότι χρησιμοποιούμε μια τεχνική που ισχύει για τα εμβαδά (και έχει αποδειχτεί πως ισχύει) για τις περιμέτρους (που δεν υπάρχει θεώρημα που να μας δείχνει αυτό που λέει το σχήμα).
  Για την ακρίβεια, αν δεν αφαιρούσαμε συνεχώς παραλληλόγραμμα αλλά τρίγωνα (αν φέρναμε άπειρες εφαπτομένες στον κύκλο) η περίμετρος θα μειωνόταν και θα μπορούσε να τείνει σε αυτή του κύκλου ( το π δηλαδή). Τώρα όμως η περίμετρος είναι σταθερή. Το εμβαδόν προσεγγύζει αυτό του κύκλου, όμως όχι η περίμετρος.
  Επίσης να σημειωθεί πως ποτέ αυτό το σχήμα, όσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα ή τετράγωνα κι αν αφαιρέσουμε, δεν θα έχει την ίδια περίμετρο με τον κύκλο. Αυτό γίνεται εύκολα αντιληπτό από το γεγονός πως πάντοτε θα υπάρχουν ορθογώνιες προεξοχές που προκύπτουν από αφαίρεση ενός παραλληλογράμμου. (Αυτό αποδεικνύεται αρκετά εύκολα, αν αναλογιστούμε πως, ακόμη κι αν υπάρχει ένας αριθμός ν, τέτοιος ώστε το τελευταίο τετράγωνο που θα αφαιρέσουμε θα είναι το νιοστό, από την αφαίρεση αυτού του παραλληλογράμμου θα προκύψουν άλλες δύο ορθογώνιες προεξοχές – το σχήμα θα έχει οδοντώματα). Συνεπώς η Περίμετρος παραμένει σταθερή και ίση με 4 αλλά, γι αυτόν ακριβώς τον λόγο, δεν προσεγγίζει την περίμετρο του κύκλου… Νομίζω.. Να σημειωθεί ότι είμαι μαθητής λυκείου, οπότε μπορεί να κάνω κάτι λάθος
• Κωνσταντίνος Says:
  Φεβρουαρίου 3rd, 2011 at 15:24

  Πολύ σωστή η απάντησή σου Κώστα και πολύ κομψά εκφρασμένη!

  Keep it up!
• KostasFarf Says:
  Φεβρουαρίου 5th, 2011 at 23:33

  Σ’ευχαριστώ πολύ συνονόματε Καλή συνέχεια
• George Says:
  Μαρτίου 6th, 2011 at 22:37

  Λοιπόν το λάθος, κατα τη γνωμη μου, είναι πως περνει δεδομένο πως ο κύκλος έχει την ίδια περίπετρο με το τετράγωνο πράγμα που που δεν ισχύει.

  Έστω L η περίμετρος και ρ η ακτίνα του κλυκλου
  Έστω Ι η περίμετρος και α η πλευρά του τετραγώνου

  Ισχύει οτι ρ=α/2
  L=2πρ=2π*α/2=πα
  I=4α

  Αν οι δύο περίμετροι ήταν ίσοι θα ίσχυε:
  L=Ι => πα=4α => π=4 άτοπο

  άρα αφού ξέρουμε όλοι ότι π=3,14… συμπεράινουμε πως οι δύο περίμετροι δεν μπορούν να είναι ποτέ ίσοι

  Προφανώς ο KostasFarf θα αναφέρεται στα ολοκληρώματα, αλλά αυτό που λέει δεν νομίζω να αποδεικνύει γιατί να μην ισχύει κάτι αντίστοιχο και για περιμέτρους.

  Επίσης δεν είναι απαραίτητο να κόβουμε τετραγωνάκια για να διατηρήται σταθερή η περίμετρος του μεγάλου τετραγώνου, και με ορθογώνια πιστεύω το ίδιο θα συμβαίνει.

  Συνεπώς ακόμα και αν ο αριθμος των ορθωγωνίων που κόβουμε τίνει στο άπειρο πάλι δεν θα μπορέσει το εμβαδόν του τετραγώνου να είναι ίσο με του κύκλου.

  Τώρα δεν ξέρω αν αυτα που λέω ισχύουν ή αν έχω παραλέιψει κάτι. Μαθητής τρίτης Λυκείου είμαι και γω. Ας μας απαντήσει κανας μαθηματικός.
• KostasFarf Says:
  Μαρτίου 8th, 2011 at 12:02

  Ναι, George, προφανώς το π δεν είναι ίσο με 4, αλλά το θέμα είναι να δείξουμε που είναι το λάθος στον συλλογισμό του προβλήματος.

  Αυτό που λέω αποδεικνύει ότι δεν προσεγγίζεται έτσι η περίμετρος, με την αναφορά στα οδοντώματα του σχήματος που θα προκύψει από την αφαίρεση των ορθογωνίων (αν πρόσεχες καλύτερα θα έβλεπες ότι αναφέρομαι σε «τετράγωνα ή ορθογώνια παραλληλόγραμμα» όχι μόνο τετράγωνα).

  Επίσης δεν καταλαβαίνω πως ακριβώς καταλήγεις στο ότι δεν θα γίνουν τα εμβαδά ίσα :S Εννοώ, από μαθηματικής πλευράς, δεν βλέπω κάπου απόδειξη.
• george Says:
  Φεβρουαρίου 19th, 2012 at 05:43

  Ειμαι μαθητης γυμνασιου και με το που ειδα το προβλημα μου φανηκε πολυ ενδιαφερον.Η δικη μου απαντησει ειναι(χωρις να γνωριζω μαθηματικα τετοιου επιπεδου) οτι η περιμετρος παραμενει παντα σταθερη με 4 εφαρμοζοντας καποια προσεγγιση η οποια ειναι τοσο μικρη που δεν προκαλει βλαβη.Ολες οι προσεγγισεις μαζι ομως δημιουργουν

Αφήστε ένα σχόλιο